Im masywniejsza czarna dziura, tym mniejsza może być jej umowna średnia gęstość
Brzmi paradoksalnie, ale jeśli dla nierotującej czarnej dziury podzielimy jej masę przez objętość kuli o promieniu Schwarzschilda, otrzymana „średnia gęstość” maleje jak odwrotność kwadratu masy. Powód jest geometryczny: promień horyzontu rośnie proporcjonalnie do masy, więc objętość takiej kuli rośnie jak masa do trzeciej potęgi. Dla czarnej dziury o masie rzędu setek milionów mas Słońca ta umowna wartość może spaść poniżej gęstości wody. Nie oznacza to jednak, że jej wnętrze jest zwykłą rozrzedzoną materią — pojęcie objętości wewnątrz horyzontu jest subtelne i zależne od sposobu definiowania przekroju czasoprzestrzeni.
Prosty rachunek daje dziwny wynik
Dla nierotującej czarnej dziury promień Schwarzschilda wynosi R_s = 2GM/c², a więc jest wprost proporcjonalny do masy M. Jeśli czysto umownie potraktujemy horyzont jak granicę kuli i policzymy ρ = M/(4πR_s³/3), w mianowniku pojawia się M³, a w liczniku M. Wynik skaluje się więc jak 1/M². Podwojenie masy zmniejsza tak zdefiniowaną średnią gęstość czterokrotnie; zwiększenie masy tysiąckrotnie zmniejsza ją milion razy. To przeciwieństwo intuicji, według której „większa czarna dziura” powinna oznaczać „bardziej upakowaną”.
Kiedy wynik spada poniżej gęstości wody
Dla obiektu o jednej masie Słońca ta geometryczna średnia jest olbrzymia, około 1,8×10^19 kg/m³. Ponieważ maleje jak 1/M², dla masy około 1,4×10^8 mas Słońca osiąga w przybliżeniu 1000 kg/m³, czyli gęstość wody. Dla jeszcze masywniejszych czarnych dziur wychodzi mniejsza. Liczba ta nie jest nową właściwością materii tworzącej czarną dziurę; wynika z zestawienia masy z objętością euklidesowej kuli o promieniu równym promieniowi horyzontu.
Dlaczego nie wolno wyobrażać sobie kuli wypełnionej gazem
Wnętrze czarnej dziury nie jest po prostu zwykłym zbiornikiem o znanej objętości, do którego możemy włożyć masę i policzyć klasyczną gęstość. W zakrzywionej czasoprzestrzeni definicja przestrzennej objętości wnętrza zależy od wyboru trójwymiarowego przekroju — od tego, co uznamy za „jednoczesne” wewnątrz. Horyzont również nie jest materialną powierzchnią. Dlatego wartość M/(4πR_s³/3) jest użyteczną ilustracją skalowania horyzontu, a nie pomiarem lokalnej gęstości substancji znajdującej się gdzieś pod nim.
Co naprawdę pokazuje ta zależność
Najciekawsza lekcja dotyczy skali. Promień Schwarzschilda rośnie liniowo z masą: dla jednej masy Słońca to około 3 km, więc dla miliarda mas Słońca byłby rzędu miliardów kilometrów. Obszar ograniczony takim promieniem rośnie objętościowo dużo szybciej niż sama masa. To także pomaga zrozumieć, dlaczego horyzonty supermasywnych czarnych dziur mogą mieć słabe lokalne siły pływowe: duża masa jest związana z proporcjonalnie ogromną skalą długości.
Paradoks jest ostrzeżeniem przed zbyt dosłownymi analogiami
Czarne dziury wymuszają ostrożność z pojęciami przeniesionymi z fizyki codziennej. „Promień”, „powierzchnia”, „objętość” i „gęstość” brzmią znajomo, ale w silnie zakrzywionej czasoprzestrzeni nie zawsze zachowują wszystkie intuicyjne własności. Możemy dokładnie określić pole powierzchni horyzontu i jego promień arealny, lecz pytanie o objętość wnętrza wymaga dodatkowej definicji. Dlatego ta ciekawostka jest prawdziwa tylko w precyzyjnym sensie: chodzi o umowną średnią wyznaczoną z masy i objętości kuli o promieniu Schwarzschilda.
Ten sam rachunek pokazuje, jak szybko rośnie horyzont
Skalowanie promienia Schwarzschilda jest wyjątkowo proste: około 3 km na każdą masę Słońca. Czarna dziura o dziesięciu masach Słońca ma więc horyzont o promieniu rzędu 30 km, a obiekt o miliardzie mas Słońca — rzędu 3 miliardów kilometrów. Masa wzrosła sto milionów razy, ale promień również sto milionów razy, więc odpowiadająca mu objętość wzrosła około 10^24 razy. To właśnie ten geometryczny efekt tak gwałtownie obniża iloraz masa/objętość. Warto go odróżnić od procesu powstawania czarnej dziury: materia zapadającej się gwiazdy musi osiągnąć ogromną zwartość, lecz gotowy horyzont supermasywnego obiektu opisuje znacznie większą skalę przestrzenną niż horyzont czarnej dziury gwiazdowej.