Wszechświat może przyspieszać, choć parametr Hubble’a maleje
Zdanie „ekspansja Wszechświata przyspiesza” łatwo pomylić ze zdaniem „parametr Hubble’a H rośnie”. To nie jest to samo. Przyspieszenie oznacza, że współczynnik skali a(t) ma dodatnią drugą pochodną: tempo wzrostu samej skali rośnie. Parametr Hubble’a jest natomiast ilorazem tego tempa i aktualnej skali, H = ȧ/a. W standardowym modelu ΛCDM współczynnik skali może rosnąć przyspieszająco, podczas gdy H przez dużą część historii nadal maleje i dopiero w dalekiej przyszłości zbliża się do stałej wartości wyznaczonej przez Λ. To matematyczny paradoks tylko pozornie — podobnie jak kwota oszczędności może rosnąć coraz szybciej, ale jej procentowy przyrost względem coraz większej całości może maleć.
Dwie „prędkości wzrostu”
Kosmologiczny współczynnik skali a(t) opisuje, jak zmieniają się charakterystyczne odległości między współporuszającymi się punktami. Jego pierwsza pochodna ȧ mówi o absolutnym tempie wzrostu tej skali. Przyspieszenie to znak drugiej pochodnej ä: jeśli ä > 0, ȧ zwiększa się. Parametr Hubble’a H = ȧ/a jest natomiast względnym tempem wzrostu — liczbą mówiącą, o jaki ułamek skala zmienia się na jednostkę czasu. Mianownik a również rośnie, więc H nie musi zachowywać się tak samo jak ȧ.
Prosta analogia z kontem
Załóżmy, że majątek rośnie o coraz większą kwotę rocznie: 100, potem 150, potem 200 jednostek. Można powiedzieć, że absolutny przyrost przyspiesza. Jeśli jednak sam majątek urósł z tysiąca do dziesiątek tysięcy, procentowy wzrost może jednocześnie spadać. Oczywiście kosmologia nie jest kontem bankowym, ale analogia rozdziela dwie wielkości: absolutną zmianę a i zmianę względną H. Zamieszanie bierze się z potocznego używania słowa „tempo ekspansji” dla obu naraz.
Co robi materia
W erze zdominowanej przez materię grawitacyjne przyciąganie sprawia, że ä jest ujemne — ekspansja zwalnia. Jednocześnie H spada dość szybko, ponieważ gęstość materii maleje wraz z rosnącą objętością. Gdy znaczenie stałej kosmologicznej staje się większe, ä przechodzi przez zero i staje się dodatnie. H nadal może maleć, ponieważ pozostaje większe od swojej asymptotycznej wartości de Sittera. Z czasem spadek H staje się coraz wolniejszy.
Czysta stała kosmologiczna daje graniczny przypadek
W idealnym Wszechświecie zdominowanym wyłącznie przez dodatnią stałą kosmologiczną współczynnik skali rośnie wykładniczo: a(t) ~ exp(Ht). Wtedy H jest stałe, a nie rosnące, mimo że ȧ i ä rosną wraz z a. To najprostszy dowód, że przyspieszenie nie wymaga rosnącego H. Nasz Wszechświat zawiera również materię i promieniowanie, więc ewolucja przed osiągnięciem takiego asymptotycznego stanu jest bardziej złożona.
Dlaczego to ważne przy czytaniu wiadomości
Popularne artykuły często piszą, że „Wszechświat rozszerza się coraz szybciej”. Może to znaczyć, że dla dwóch współporuszających się odległych punktów tempo wzrostu ich odległości rośnie, ale nie powinno być automatycznie interpretowane jako wzrost wartości H(t). Z kolei „stała Hubble’a” H₀ to H zmierzone dzisiaj, nie matematyczna stała obowiązująca przez całą historię. Właśnie dlatego kosmolodzy rozróżniają H₀ od funkcji H(z).
Jeszcze jeden paradoks znika po precyzyjnej definicji
Kosmologia jest pełna zdań brzmiących sprzecznie, dopóki nie wiadomo, co dokładnie mierzy dana wielkość. Ten przypadek jest wyjątkowo dobrym ćwiczeniem: „przyspieszanie” dotyczy drugiej pochodnej współczynnika skali, a „parametr Hubble’a” jest logarytmicznym tempem wzrostu skali. Obie wielkości są powiązane, ale nie identyczne. Matematyka nie wymaga więc, by H rosło w przyspieszającym Wszechświecie — i w standardowym ΛCDM obecna sytuacja właśnie tego nie wymaga.
Matematyka rozdziela przyspieszenie od procentowego tempa wzrostu
Można zobaczyć różnicę bez pełnego rachunku tensorowego. Jeśli a(t) rośnie coraz szybciej, to jego nachylenie ȧ rośnie i mamy ä>0. Parametr Hubble’a H=ȧ/a dzieli jednak ȧ przez coraz większą wartość a. Nawet gdy licznik rośnie, iloraz może maleć, jeśli mianownik rośnie dostatecznie szybko. W modelu z materią i dodatnią stałą kosmologiczną właśnie tak dzieje się przez znaczną część późnej historii: H maleje ku dodatniej asymptotycznej wartości, podczas gdy a rośnie przyspieszająco. Ten detal ma praktyczny skutek dla języka. „Stała Hubble’a” jest nazwą historyczną dla dzisiejszego H₀; nie oznacza, że H było takie samo w każdej epoce. Astronomowie mierzą H(z), czyli historię względnego tempa ekspansji, a przyspieszenie wyprowadzają z kształtu tej historii i zależności odległość–redshift. Precyzja definicji usuwa sprzeczność, która w potocznym zdaniu brzmi jak paradoks.
W przyszłości H może zbliżać się do stałej, a odległości nadal rosnąć coraz szybciej
Dla dominującej stałej kosmologicznej a(t) rośnie wykładniczo. H dąży wtedy do stałej dodatniej wartości, lecz ȧ=Ha rośnie razem z a. Dwie odległe współporuszające się galaktyki mogą więc zwiększać separację coraz szybciej mimo braku wzrostu H. To najczystszy przykład pokazujący, dlaczego tych dwóch pojęć nie wolno utożsamiać. Dlatego przy czytaniu o „tempie ekspansji” zawsze warto sprawdzić, czy autor mówi o H(t), o pochodnej a(t), czy o prędkości recesji konkretnej pary obiektów.