1 + 2 + 3 + 4 + … nie jest zwyczajnie równe −1/12
Zwykłe sumy częściowe szeregu 1+2+3+… wynoszą N(N+1)/2 i rosną do +∞, więc klasyczny szereg jest rozbieżny. Liczba −1/12 pojawia się gdzie indziej: funkcja dzeta Riemanna ζ(s)=∑n^{-s} jest definiowana przez ten szereg tylko dla Re(s)>1, lecz ma analityczne przedłużenie na prawie całą płaszczyznę zespoloną. To przedłużenie spełnia ζ(−1)=−1/12. W określonych kontekstach mówi się więc o wartości zeta-regularizowanej szeregu. Nie wolno jednak mylić jej ze zwykłą sumą dodatnich liczb naturalnych. To rozróżnienie jest kluczowe: regularizowana wartość nie zastępuje zwykłej granicy sum częściowych.
Najpierw zwykła definicja sumy
Dla szeregu 1+2+3+4+… n-ta suma częściowa jest równa 1+2+…+N=N(N+1)/2. Wraz ze wzrostem N wartość ta rośnie bez ograniczeń. Nie istnieje skończona liczba L, do której zbliżają się sumy częściowe. W standardowym sensie analizy szereg jest więc rozbieżny do +∞. Już ten prosty rachunek wyklucza interpretację, według której zwykłe dodawanie dodatnich liczb naturalnych miałoby dawać liczbę ujemną.
Funkcja dzeta zaczyna życie w innym miejscu
Dla liczb zespolonych s o części rzeczywistej większej niż 1 definiujemy ζ(s)=1+1/2^s+1/3^s+…. W tej dziedzinie szereg jest zbieżny i naprawdę definiuje funkcję. Gdy podstawilibyśmy s=−1 bez żadnych dodatkowych narzędzi, formalnie otrzymalibyśmy właśnie 1+2+3+…, ale s=−1 leży daleko poza obszarem zbieżności tej definicji. Nie wolno więc po prostu podstawić −1 do rozbieżnego szeregu.
Analityczne przedłużenie zmienia sytuację
Teoria funkcji zespolonych pozwala przedłużyć ζ(s) w sposób jednoznaczny do funkcji meromorficznej na całej płaszczyźnie zespolonej poza prostym biegunem w s=1. To przedłużenie przyjmuje w punkcie s=−1 wartość −1/12. NIST podaje ogólny wzór na wartości ζ(−n) przez liczby Bernoulliego, z którego dla n=1 wynika właśnie −1/12. Jest to wartość funkcji po przedłużeniu, a nie granica sum 1+2+…+N.
Co oznacza zeta-regularizacja
W niektórych działach matematyki i fizyki rozbieżnym obiektom przypisuje się wartości regularizowane tak, aby zachować użyteczne relacje analityczne. Jedną z takich procedur wykorzystuje funkcja dzeta. Skrótowy zapis 1+2+3+…=−1/12 bywa stosowany w odpowiednim kontekście, ale bez kwalifikatora jest mylący. Dokładniejsze zdanie brzmi: zeta-regularizowana wartość związana z tym szeregiem wynosi −1/12, podczas gdy jego zwykła suma nie istnieje jako liczba skończona.
Dlaczego formalne manipulacje wydają się działać
W popularnych prezentacjach −1/12 bywa wyprowadzane przez przestawianie lub odejmowanie innych rozbieżnych szeregów. Niektóre z tych rachunków można uzasadnić po wprowadzeniu odpowiedniej metody sumowania lub regularizacji, ale jako zwykła algebra na klasycznie zbieżnych szeregach są niedozwolone. To ważna lekcja ogólna: poprawny wynik końcowy nie gwarantuje poprawności niejawnie użytej metody.
Paradoks znika po nazwaniu obiektu
Nie ma sprzeczności między dodatnimi sumami częściowymi a ujemną wartością ζ(−1). Mówimy o dwóch różnych konstrukcjach. Pierwsza to granica sum 1+2+…+N, która wynosi +∞ w sensie rozbieżności. Druga to wartość analitycznego przedłużenia funkcji, pierwotnie zdefiniowanej przez inny zbieżny szereg w obszarze Re(s)>1. Gdy wyraźnie rozdzielimy te pojęcia, zaskoczenie pozostaje, ale znika matematyczna mistyfikacja.
Analityczne przedłużenie jest jednoznacznym obiektem, nie dowolną poprawką
Funkcja dzeta określona szeregiem ∑n^{-s} ma ten zapis tylko w obszarze, w którym szereg rzeczywiście jest zbieżny. Teoria funkcji zespolonych pozwala jednak przedłużyć tę funkcję poza pierwotną dziedzinę w sposób analityczny, z wyjątkiem jej bieguna. Tak otrzymana funkcja jest jednoznacznie związana z wersją początkową i przy s=−1 ma wartość −1/12. To właśnie ta wartość stoi za zapisem ζ(−1)=−1/12. Kluczowe jest zachowanie nazwy operacji: wartość funkcji po przedłużeniu analitycznym nie jest granicą ciągu 1, 1+2, 1+2+3, …, bo ten ciąg bezsprzecznie rośnie do +∞. DLMF podaje ogólny związek wartości funkcji dzeta w ujemnych liczbach całkowitych z liczbami Bernoulliego: ζ(−n)=−B_{n+1}/(n+1). Dla n=1 wykorzystujemy B₂=1/6 i otrzymujemy ζ(−1)=−1/12. To ścisłe twierdzenie o analitycznie przedłużonej funkcji dzeta. Tymczasem zwykła suma częściowa 1+2+…+N ma dokładny wzór N(N+1)/2 i bez ograniczeń rośnie wraz z N. Oba zdania mogą być jednocześnie prawdziwe, bo dotyczą różnych obiektów. Wartość −1/12 jest fascynująca właśnie wtedy, gdy zachowamy to rozróżnienie, a nie gdy przedstawimy ją jako rzekome obalenie elementarnej arytmetyki. Dlatego zapis „1+2+3+…=−1/12” bez dopisku jest matematycznie mylący. Precyzyjniej należy powiedzieć, że zeta-regularizacja tego formalnego szeregu daje −1/12 albo że analityczne przedłużenie funkcji ζ przyjmuje tę wartość w s=−1. Zwykła suma pozostaje rozbieżna do +∞. Właśnie dlatego w dobrym tekście popularnonaukowym znak równości wymaga tutaj kwalifikatora: bez niego czytelnik otrzymuje fałszywe wrażenie, że zmieniono definicję zwykłego dodawania. Matematyka nie przeczy formule N(N+1)/2; używa innego przedłużonego obiektu.