Zwykłe sumy częściowe szeregu 1+2+3+… wynoszą N(N+1)/2 i rosną do +∞, więc klasyczny szereg jest rozbieżny. Liczba −1/12 pojawia się gdzie indziej: funkcja dzeta Riemanna ζ(s)=∑n^{-s} jest definiowana przez ten szereg tylko dla Re(s)>1, lecz ma analityczne przedłużenie na prawie całą płaszczyznę zespoloną. To przedłużenie spełnia ζ(−1)=−1/12. W określonych kontekstach mówi się więc o wartości zeta-regularizowanej szeregu. Nie wolno jednak mylić jej ze zwykłą sumą dodatnich liczb naturalnych. To rozróżnienie jest kluczowe: regularizowana wartość nie zastępuje zwykłej granicy sum częściowych.
Punkt prostej opisujemy jedną liczbą rzeczywistą, a punkt płaszczyzny parą (x,y), więc naturalnie wydaje się, że płaszczyzna powinna mieć „więcej” punktów. W sensie kardynalności jest inaczej: R i R² mają tę samą moc. Jedną z dróg dowodu jest zbudowanie oczywistej injekcji R→R² oraz injekcji R²→R przez kodowanie dwóch rozwinięć cyfr w jednym ciągu, a następnie użycie twierdzenia Cantora–Bernsteina. Równoliczność nie oznacza jednak geometrycznej równoważności: bijekcja nie musi zachowywać odległości, ciągłości ani wymiaru.
Załóżmy, że ktoś twierdzi, iż wypisał wszystkie liczby rzeczywiste z przedziału [0,1] w kolejności r1, r2, r3, …. Argument przekątniowy Cantora konstruuje nową liczbę, której n-ta cyfra po przecinku różni się od n-tej cyfry liczby rn. Taka liczba różni się więc od pierwszej pozycji co najmniej pierwszą cyfrą, od drugiej — drugą, i tak dalej. Nie może znajdować się nigdzie na rzekomo kompletnej liście. Oznacza to, że liczby rzeczywiste są nieprzeliczalne: ich nieskończoność jest większa niż nieskończoność liczb naturalnych.
Hipoteza continuum pyta, czy istnieje kardynalność ściśle pomiędzy mocą liczb naturalnych a mocą liczb rzeczywistych. Gödel pokazał, że jeśli ZFC jest niesprzeczne, to ZFC razem z hipotezą continuum również może być niesprzeczne. Cohen wykazał później analogicznie, że jeśli ZFC jest niesprzeczne, to niesprzeczne może być także ZFC z negacją hipotezy continuum. Razem daje to niezależność CH od ZFC: standardowe aksjomaty teorii mnogości nie potrafią jej ani udowodnić, ani obalić, przy założeniu ich własnej niesprzeczności.
Twierdzenie Banacha–Tarskiego mówi, że w trójwymiarowej przestrzeni solidną kulę można podzielić na skończenie wiele bardzo nietypowych zbiorów punktów, a następnie — używając tylko obrotów i przesunięć — złożyć z nich dwie kule kongruentne z wyjściową. Nie jest to przepis na kopiowanie materii. Elementy rozkładu są niemierzalne w sensie Lebesgue’a i nie przypominają fizycznych kawałków; ich istnienie wiąże się z aksjomatem wyboru. Zwykła zasada zachowania objętości nie może być zastosowana do tych części, bo nie mają przypisanej klasycznej objętości.
Liczby parzyste są tylko częścią liczb naturalnych, ale w sensie kardynalności oba zbiory mają ten sam rozmiar. Każdej liczbie naturalnej n można przypisać dokładnie jedną liczbę parzystą 2n, a każda dodatnia liczba parzysta pojawia się w takim przyporządkowaniu. Powstaje bijekcja, mimo że po stronie parzystych „brakuje” wszystkich nieparzystych. To jedna z podstawowych różnic między zbiorami skończonymi i nieskończonymi. Nie oznacza to jednak, że parzyste stanowią 100% liczb naturalnych: ich naturalna gęstość wynosi 1/2. Kardynalność i udział w rosnących przedziałach mierzą po prostu dwie różne rzeczy.
Alan Turing zdefiniował liczby obliczalne jako takie, których cyfry można w zasadzie wyznaczać mechanicznie z dowolną żądaną dokładnością. Każdy konkretny algorytm ma skończony opis, a skończonych napisów nad skończonym alfabetem jest tylko przeliczalnie wiele. Zatem liczb obliczalnych również jest co najwyżej przeliczalnie wiele. Tymczasem liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalnie wiele. Wniosek jest zdumiewający: niemal cała nieskończona większość liczb rzeczywistych nie może być wynikiem żadnego programu obliczającego ich kolejne cyfry.
Szereg 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … zawiera nieskończenie wiele dodatnich składników, a mimo to jego suma wynosi dokładnie 1. Nie oznacza to wykonania „ostatniego dodawania”. Po N wyrazach suma jest równa 1−1/2^N, a różnica do 1 dąży do zera. Suma szeregu jest więc granicą jego skończonych sum częściowych. To prosty, ale fundamentalny przykład pokazujący, że nieskończony proces może mieć skończony rezultat — pod warunkiem, że kolejne wkłady maleją wystarczająco szybko. Granica sum częściowych może więc istnieć, mimo że liczba dodawanych składników nie ma końca.
Odcinek i cała prosta różnią się długością w sposób skrajny: jeden jest ograniczony, druga ciągnie się bez końca. Mimo to mają tę samą kardynalność. Już otwarty przedział (0,1) można bijekcyjnie odwzorować na R, na przykład funkcją tan(π(x−1/2)). Dodanie dwóch końców nie zmienia kardynalności continuum, więc także [0,1] ma tyle samo punktów co cała prosta. To pokazuje, że kardynalność nie mierzy długości, średnicy ani fizycznej „wielkości” przestrzeni — porównuje wyłącznie liczbę punktów poprzez możliwość utworzenia bijekcji.
Hotel Hilberta ma pokoje ponumerowane 1, 2, 3, … i każdy z nich jest zajęty. W zwykłym hotelu oznaczałoby to brak miejsca, ale przy przeliczalnej nieskończoności wystarczy przenieść gościa z pokoju n do pokoju n+1, aby zwolnić pokój 1. Gdy przyjedzie nieskończenie wielu nowych gości, obecnych można przenieść z n do 2n, pozostawiając wszystkie nieparzyste pokoje wolne. To nie sztuczka hotelarska, lecz obraz własności zbiorów przeliczalnie nieskończonych: mogą być w bijekcji z własnym właściwym podzbiorem, więc dodanie jednego albo nawet przeliczalnie wielu elementów nie musi zwiększać ich mocy.
Dla skończonej sumy kolejność składników nie ma znaczenia. W nieskończonym szeregu warunkowo zbieżnym może być inaczej. Twierdzenie Riemanna mówi, że wyrazy takiego szeregu można przestawić tak, aby nowy szereg zbiegał do dowolnie zadanej liczby rzeczywistej, a także tak, aby rozbiegał się do +∞, −∞ lub oscylował. Klasycznym przykładem jest naprzemienny szereg harmoniczny. Zjawisko nie dotyczy szeregów bezwzględnie zbieżnych — tam każde przestawienie zachowuje tę samą sumę. To zjawisko dotyczy szeregów warunkowo zbieżnych; przy zbieżności bezwzględnej kolejność nie zmienia wyniku.
Obrócenie wykresu y=1/x dla x≥1 wokół osi x tworzy tzw. róg Gabriela. Jego objętość wynosi π∫₁∞1/x² dx=π, czyli jest skończona. Pole powierzchni wymaga natomiast całki 2π∫₁∞(1/x)√(1+1/x⁴) dx, która jest większa od rozbieżnej całki 2π∫₁∞dx/x, więc jest nieskończone. Stąd słynny „paradoks malarza”: matematyczny model ma skończoną pojemność i nieskończoną powierzchnię. Nie oznacza to jednak, że fizyczną trąbkę dałoby się naprawdę napełnić farbą, ale nie pomalować — model zakłada idealne continuum i nieskończenie cienki ogon.
Dla szeregu Grandiego 1−1+1−1+… sumy częściowe wynoszą kolejno 1, 0, 1, 0, … i nie zbliżają się do jednej liczby. W zwykłym sensie szereg jest więc rozbieżny. Istnieją jednak uogólnione metody sumowania. W metodzie Cesàro uśrednia się sumy częściowe: średnie z ciągu 1,0,1,0,… dążą do 1/2, dlatego szereg jest Cesàro-sumowalny do 1/2. Zapis „1−1+1−1+…=1/2” jest poprawny tylko wtedy, gdy jasno zaznaczymy, że chodzi o takie rozszerzone pojęcie sumy, a nie zwykłą zbieżność szeregu. Wartość 1/2 pojawia się dopiero po zastosowaniu innej, jawnie zdefiniowanej metody sumowania.
Między dowolnymi dwiema różnymi liczbami rzeczywistymi można znaleźć liczbę wymierną, a nawet nieskończenie wiele takich liczb. Zbiór ułamków jest więc gęsty na osi liczbowej. Mimo tego wszystkie liczby wymierne można ustawić w jednej nieskończonej liście, czyli jest ich tylko przeliczalnie wiele — tyle samo w sensie kardynalności co liczb naturalnych. „Gęsty” nie znaczy więc „nieprzeliczalny”. To dwa niezależne pojęcia: gęstość opisuje, co można znaleźć w każdym przedziale, a kardynalność mówi, czy cały zbiór da się ponumerować.
W szeregu harmonicznym 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … kolejne składniki stają się dowolnie małe i dążą do zera. Mimo to szereg jest rozbieżny: jego sumy częściowe rosną bez ograniczeń. Klasyczny dowód grupuje wyrazy w bloki o długościach 1, 2, 4, 8, …; każdy taki blok od pewnego miejsca wnosi co najmniej 1/2, więc po nieskończenie wielu blokach nie może powstać skończona granica. Warunek an→0 jest zatem konieczny dla zbieżności szeregu ∑an, ale zdecydowanie niewystarczający. To klasyczny przykład, że warunek a_n→0 jest konieczny dla zbieżności szeregu, ale sam w sobie zdecydowanie nie wystarcza.
Zacznij od odcinka [0,1], usuń otwartą środkową trzecią, potem środkowe trzecie z dwóch pozostałych fragmentów i powtarzaj proces bez końca. Łączna długość usuniętych przedziałów wynosi 1, więc pozostały zbiór Cantora ma miarę Lebesgue’a równą zero. Nie jest jednak przeliczalny. Jego punkty można opisywać rozwinięciami trójkowymi używającymi cyfr 0 i 2, co odpowiada nieskończonym ciągom binarnym; takich ciągów jest continuum. To znakomity przykład, że „długość” i „liczba punktów” to całkowicie różne pojęcia wielkości.
Dla dowolnego zbioru S można utworzyć jego zbiór potęgowy P(S), czyli zbiór wszystkich podzbiorów S. Cantor udowodnił, że P(S) ma zawsze większą kardynalność niż S — także wtedy, gdy S jest już nieskończony. Gdyby funkcja f:S→P(S) miała trafiać w każdy podzbiór, można zbudować D={x∈S : x∉f(x)}. Zbiór D różni się od f(x) co najmniej w punkcie x dla każdego x, więc nie jest wartością f dla żadnego argumentu. To prowadzi do niezwykłej konsekwencji: nie istnieje największy rozmiar nieskończoności. w standardowej teorii mnogości.
