Im więcej rzutów monetą wykonasz, tym mniejsza szansa na dokładny remis 50:50
Prawo wielkich liczb mówi, że udział orłów w długiej serii uczciwych rzutów zwykle zbliża się do 1/2. Można więc oczekiwać, że dokładnie połowa wyników będzie orłami coraz częściej. Jest odwrotnie: dla 2n rzutów prawdopodobieństwo dokładnie n orłów jest równe C(2n,n)/4^n i maleje mniej więcej jak 1/√(πn). Proporcja wyników koncentruje się coraz ciaśniej wokół 50%, ale istnieje coraz więcej możliwych wartości bliskich połowie. „Blisko 50%” staje się coraz bardziej typowe, podczas gdy „dokładnie 50%” coraz mniej prawdopodobne.
Blisko połowy to nie dokładnie połowa
Wyobraźmy sobie 10, 100 i 10 000 rzutów. Wraz ze wzrostem liczby prób typowe odchylenie udziału orłów od 50% maleje. Nie oznacza to jednak, że masa prawdopodobieństwa skupia się w jednym punkcie. Liczba możliwych wyników liczby orłów rośnie razem z liczbą rzutów: obok idealnego remisu mamy wyniki o jeden, dwa, trzy czy kilkanaście orłów od połowy, które procentowo wciąż są bardzo bliskie 50%.
Dokładny wzór
Dla 2n niezależnych rzutów uczciwą monetą każda konkretna sekwencja ma prawdopodobieństwo 1/4^n. Sekwencji zawierających dokładnie n orłów jest C(2n,n), czyli środkowy współczynnik dwumianowy. Dlatego P(dokładnie połowa orłów)=C(2n,n)/4^n. Wzór Stirlinga pokazuje, że dla dużego n wartość ta zachowuje się jak 1/√(πn), a więc dąży do zera. To bardzo wolny, ale nieuchronny spadek.
Jednocześnie prawo wielkich liczb pozostaje prawdziwe
Nie ma tu sprzeczności. Jeśli wybierzemy dowolny stały margines, np. od 49% do 51% orłów, prawdopodobieństwo znalezienia się w tym przedziale przy odpowiednio dużej liczbie rzutów będzie bardzo wysokie. Przedział obejmuje jednak wiele różnych liczb całkowitych wyników. Dokładny remis to tylko jeden punkt pośrodku coraz szerszej — w liczbach bezwzględnych — chmury typowych wyników.
Skala procentowa i skala bezwzględna mówią co innego
Typowe odchylenie liczby orłów od n rośnie mniej więcej jak √n, choć typowe odchylenie procentowe maleje jak 1/√n. Po milionie rzutów różnica kilkuset orłów między stronami nie byłaby niczym niezwykłym, mimo że procentowo rezultat wyglądałby niemal idealnie 50:50. To kolejny przykład, w którym ta sama próba wydaje się „wyrównywać” w skali względnej i jednocześnie rozchodzić w skali bezwzględnej.
Dlaczego intuicja się potyka
W codziennym języku „wyniki zbliżają się do połowy” łatwo nieświadomie zamienić na „wyniki coraz częściej trafiają dokładnie w połowę”. Matematycznie są to inne zdania. Granice i prawa asymptotyczne często opisują proporcje lub przedziały, a nie prawdopodobieństwo pojedynczej dokładnej wartości. Rozpoznanie tej różnicy jest ważne także w statystyce, gdzie prawie nigdy nie oczekujemy idealnej zgodności z wartością teoretyczną.
Szersza lekcja o granicach
Ten przykład uczy ostrożności przy interpretowaniu słowa „zbliża się”. Zmienna może z dużym prawdopodobieństwem znaleźć się coraz bliżej pewnej wartości w skali względnej, a jednocześnie szansa na trafienie dokładnie w tę wartość może maleć do zera. Granice probabilistyczne opisują zachowanie rozkładu, a nie koniecznie coraz częstsze trafianie pojedynczego punktu.
Rozkład robi się względnie węższy, ale absolutnie szerszy
Rozkład liczby orłów ma średnią N/2 i odchylenie standardowe √N/2. Gdy N rośnie, odchylenie standardowe w liczbie rzutów rośnie, więc „typowy pas” obejmuje coraz więcej możliwych całkowitych wartości. Po podzieleniu przez N jego szerokość procentowa maleje jednak jak 1/√N. To właśnie pozwala jednocześnie spełnić dwa pozornie sprzeczne fakty: dokładny środek ma coraz mniejszą masę, a niemal cała masa rozkładu mieści się w coraz ciaśniejszym procentowym otoczeniu połowy. Wykres w skali liczby orłów rozszerza się, a po przeskalowaniu do proporcji zwęża.