Paradoks Bertranda pyta o prawdopodobieństwo, że losowa cięciwa okręgu jest dłuższa od boku wpisanego trójkąta równobocznego. Trzy pozornie naturalne sposoby losowania prowadzą do odpowiedzi 1/3, 1/2 i 1/4. Nie oznacza to sprzeczności rachunku prawdopodobieństwa. Problem jest niedookreślony: „wybrać cięciwę losowo” nie definiuje rozkładu prawdopodobieństwa na zbiorze wszystkich cięciw. Różne procedury fizyczne lub parametryzacje wybierają różne cięciwy z różną częstością. Przed liczeniem trzeba więc zdefiniować mechanizm losowania.
W prawdopodobieństwie warunkowym P(wynik dodatni | zjawisko) nie jest tym samym co P(zjawisko | wynik dodatni). Gdy zjawisko występuje rzadko, nawet test o wysokiej czułości i swoistości może dawać dużą część fałszywie dodatnich wyników wśród wszystkich wyników dodatnich. Przykładowo w dydaktycznym modelu Stanforda z częstością zjawiska 1%, czułością 99% i 1% odsetkiem fałszywych alarmów dodatni wynik odpowiada prawdopodobieństwu zjawiska około 50%, a nie 99%. To nie wada twierdzenia Bayesa — to skutek uwzględnienia ogromnej liczby osób bez badanego zjawiska.
W trzech rzutach uczciwą monetą wzorce HHH i HHT mają w pojedynczym, z góry ustalonym oknie takie samo prawdopodobieństwo 1/8. Gdy jednak rzucamy monetą bez końca i czekamy na pierwsze pojawienie się wzorca, oczekiwany czas różni się: dla HHH wynosi 14 rzutów, a dla HHT 8. Powodem jest nakładanie się wzorca na samego siebie. Po HHH część potencjalnych trafień „dzieli” te same orły, a po nieudanej próbie stan pamięci procesu zależy od końcówki dotychczasowego ciągu. Równe prawdopodobieństwo w jednym oknie nie oznacza równego czasu pierwszego wystąpienia.
W klasycznej grze petersburskiej rzucamy uczciwą monetą aż do pierwszego orła. Jeśli pojawia się on w n-tym rzucie, nagroda wynosi 2^n. Prawdopodobieństwo takiego wyniku to 1/2^n, więc każdy poziom nagrody wnosi do wartości oczekiwanej dokładnie 1: (1/2^n)·2^n=1. Suma 1+1+1+… nie ma skończonej wartości, dlatego oczekiwana wypłata jest nieograniczona. Jednocześnie połowa gier kończy się nagrodą 2, a trzy czwarte nagrodą co najwyżej 4. Paradoks pokazuje, że wartość oczekiwana nie zawsze jest wystarczającym opisem atrakcyjności i ryzyka gry.
Prawo wielkich liczb mówi, że udział orłów w długiej serii uczciwych rzutów zwykle zbliża się do 1/2. Można więc oczekiwać, że dokładnie połowa wyników będzie orłami coraz częściej. Jest odwrotnie: dla 2n rzutów prawdopodobieństwo dokładnie n orłów jest równe C(2n,n)/4^n i maleje mniej więcej jak 1/√(πn). Proporcja wyników koncentruje się coraz ciaśniej wokół 50%, ale istnieje coraz więcej możliwych wartości bliskich połowie. „Blisko 50%” staje się coraz bardziej typowe, podczas gdy „dokładnie 50%” coraz mniej prawdopodobne.
Dla prostego symetrycznego błądzenia losowego na sieci całkowitoliczbowej twierdzenie Pólyi mówi, że w jednym i dwóch wymiarach powrót do punktu startu nastąpi z prawdopodobieństwem 1. W trzech i większej liczbie wymiarów spacer jest przejściowy: istnieje dodatnie prawdopodobieństwo, że po opuszczeniu początku nigdy już do niego nie wróci. Dodanie jednego wymiaru jakościowo zmienia więc zachowanie procesu. To nie kwestia „większego dystansu”, lecz tempa, w jakim rośnie liczba dostępnych miejsc w porównaniu z liczbą kroków spaceru.
W problemie kolekcjonera kuponów za każdym razem losujemy jeden z n typów z jednakowym prawdopodobieństwem i pytamy, ile losowań potrzeba średnio, aby zobaczyć wszystkie typy. Odpowiedź to nH_n = n(1+1/2+…+1/n), czyli w przybliżeniu n ln n. Początek idzie szybko: prawie każdy los daje coś nowego. Końcówka zwalnia dramatycznie, bo gdy brakuje jednego typu, szansa sukcesu w pojedynczej próbie wynosi tylko 1/n, więc na sam ostatni brakujący element czeka się średnio n kolejnych losowań. Największym kosztem okazuje się właśnie pogoń za ostatnimi brakującymi typami.
Jeśli kolejne rzuty uczciwą monetą są niezależne, nawet bardzo długa seria orłów nie zwiększa prawdopodobieństwa reszki w następnym rzucie: nadal wynosi ono 1/2. Błąd hazardzisty bierze się z mylenia dwóch różnych stwierdzeń. Prawo wielkich liczb mówi, że przy rosnącej liczbie prób udział orłów zwykle zbliża się do 1/2. Nie mówi, że wcześniejsza nadwyżka orłów musi zostać „odrobiona” przez serię reszek. Proporcja może wracać do 1/2 po prostu dlatego, że stała różnica staje się coraz mniejsza w stosunku do ogromnej liczby wszystkich prób.
Ludzie często wyobrażają sobie losową serię jako regularne przeplatanie wyników, np. O-R-O-O-R-R-O-R. Tymczasem niezależne rzuty monetą naturalnie tworzą skupiska i długie serie. Co więcej, każda z góry ustalona sekwencja 20 rzutów — dwadzieścia orłów, naprzemienne O-R-O-R… czy „chaotyczny” układ — ma dokładnie to samo prawdopodobieństwo 1/2²⁰. Różnica pojawia się dopiero wtedy, gdy porównujemy całe klasy sekwencji, np. „dowolna seria z 10 orłami pod rząd” z „dowolny układ bez długich serii”. Losowość nie oznacza wizualnej regularności.
Paradoks inspekcji wynika z tzw. próbkowania zależnego od długości. Jeśli odstępy między zdarzeniami mają różne długości i wybierzesz losową chwilę, długi odstęp ma większą szansę zawierać tę chwilę niż krótki. Dlatego przerwa, którą obserwujesz „od środka”, jest przeciętnie dłuższa niż typowa przerwa wybrana z listy odstępów. W wersji autobusowej nie można po prostu wziąć połowy średniego odstępu między autobusami, jeśli odstępy są zmienne. Zjawisko nie jest pechem pasażera, lecz konsekwencją sposobu próbkowania czasu.
W problemie igły Buffona losowo upuszczamy igłę na płaszczyznę z równoległymi liniami w stałych odstępach. Gdy długość igły nie przekracza odległości między liniami, prawdopodobieństwo przecięcia linii wynosi 2L/(πD), gdzie L jest długością igły, a D odstępem linii. Liczba π pojawia się nie dlatego, że rysujemy okrąg, lecz przez uśrednianie po wszystkich możliwych kątach ustawienia igły. Wielokrotne wykonanie doświadczenia pozwala więc oszacować π z częstości przecięć — choć jest to metoda bardzo nieefektywna w porównaniu z nowoczesnymi sposobami obliczeń.
Bayer i Diaconis przeanalizowali matematyczny model klasycznego riffle shuffle, w którym talię dzieli się na dwa pakiety, a następnie przeplata karty z odpowiednimi losowymi prawdopodobieństwami. Dla standardowej talii 52 kart wykazali gwałtowną zmianę zbliżenia rozkładu do jednostajnego w okolicy siedmiu takich tasowań; stąd popularne hasło, że „siedem tasowań wystarcza”. Nie oznacza ono, że każde siedem ruchów człowieka tworzy idealnie losową talię. Wynik zależy od modelu tasowania, sposobu mierzenia odległości od losowości i jakości wykonania fizycznego ruchu.
Jeśli założymy 365 jednakowo prawdopodobnych dni urodzin, pominiemy 29 lutego i potraktujemy urodziny różnych osób jako niezależne, już przy 23 osobach prawdopodobieństwo, że przynajmniej dwie obchodzą urodziny tego samego dnia, przekracza 50%. Zaskoczenie bierze się stąd, że intuicja zwykle porównuje jedną osobę z pozostałymi, a matematyka liczy wszystkie pary. W grupie 23 osób jest ich aż 253. Paradoks urodzin pokazuje ogólną zasadę: bardzo mało prawdopodobne zdarzenie może przestać być rzadkie, gdy ma wystarczająco wiele okazji, by się wydarzyć.
Jeśli n osobom losowo rozdamy n oznaczonych przedmiotów po jednym, liczba osób otrzymujących własny przedmiot ma wartość oczekiwaną równą 1 — niezależnie od n. Jednocześnie prawdopodobieństwo, że nikt nie trafi na swój przedmiot, dąży wraz ze wzrostem n do 1/e, czyli około 36,8%. Takie permutacje bez punktów stałych nazywa się derangements. Wynik łączy dwa mechanizmy: liniowość wartości oczekiwanej pozwala łatwo policzyć średnią liczbę trafień, a zasada włączeń i wyłączeń prowadzi do zaskakującej granicy związanej z liczbą e.
W klasycznej wersji problemu Monty’ego Halla zmiana wyboru zwiększa prawdopodobieństwo wygranej z 1/3 do 2/3. Wynik zależy jednak od dokładnych reguł: prowadzący wie, gdzie jest nagroda, zawsze otwiera inne drzwi z przegraną, nigdy nie odsłania nagrody i zawsze proponuje zmianę. Jego działanie nie jest więc zwykłym usunięciem jednych z dwóch drzwi — przekazuje informację. Początkowy wybór był błędny z prawdopodobieństwem 2/3, a w tych przypadkach prowadzący swoim ruchem wskazuje jedyne pozostałe drzwi, za którymi może znajdować się nagroda.
W klasycznym modelu ruiny gracza kapitał zmienia się o +1 lub −1 w niezależnych rundach. Jeśli gra jest uczciwa, obie zmiany mają prawdopodobieństwo 1/2. Gracz z dowolnym skończonym kapitałem, który gra bez końca przeciw przeciwnikowi o nieograniczonych zasobach i nie ma górnego celu, zbankrutuje jednak z prawdopodobieństwem 1. „Uczciwa pojedyncza runda” nie oznacza więc „bezpieczna nieskończona strategia”. Granica przy zerowym kapitale jest pochłaniająca: po bankructwie nie można kontynuować, podczas gdy po stronie zysków nie ma analogicznego punktu zatrzymania.
W ciągłym rozkładzie prawdopodobieństwa pojedynczy dokładny wynik może mieć prawdopodobieństwo 0, choć eksperyment oczywiście musi zwrócić jakiś wynik. Jeśli losujemy liczbę jednostajnie z przedziału [0,1], prawdopodobieństwo trafienia dokładnie 0,5 wynosi 0 — podobnie jak dla każdej innej konkretnej liczby — ale po losowaniu dostaniemy pewną konkretną wartość. W modelach ciągłych prawdopodobieństwo jest przypisane długości, polu lub bardziej ogólnej mierze zbioru wyników. Pojedynczy punkt ma miarę zero; unia nieprzeliczalnie wielu takich punktów może mieć miarę dodatnią, nawet równą 1.
