„Losowa cięciwa” w kole nie ma jednego prawdopodobieństwa, dopóki nie powiesz, jak ją losujesz
Paradoks Bertranda pyta o prawdopodobieństwo, że losowa cięciwa okręgu jest dłuższa od boku wpisanego trójkąta równobocznego. Trzy pozornie naturalne sposoby losowania prowadzą do odpowiedzi 1/3, 1/2 i 1/4. Nie oznacza to sprzeczności rachunku prawdopodobieństwa. Problem jest niedookreślony: „wybrać cięciwę losowo” nie definiuje rozkładu prawdopodobieństwa na zbiorze wszystkich cięciw. Różne procedury fizyczne lub parametryzacje wybierają różne cięciwy z różną częstością. Przed liczeniem trzeba więc zdefiniować mechanizm losowania.
Trzy rozsądne procedury
Można wybrać dwa niezależne punkty na okręgu i połączyć je cięciwą. Można wybrać kierunek, a następnie równomiernie położenie prostopadłej od środka. Można też losować środek cięciwy równomiernie w obrębie koła. Każda procedura brzmi „jednostajnie”, ale jednostajność dotyczy innej wielkości geometrycznej: punktów na obwodzie, odległości od środka albo pola. W efekcie otrzymujemy różne rozkłady samych cięciw.
Skąd biorą się 1/3, 1/2 i 1/4
Dla losowanych końców cięciwa jest odpowiednio długa, gdy drugi punkt wpada w określony łuk — daje to 1/3. Przy równomiernym wyborze odległości środka cięciwy od centrum warunek długości odpowiada połowie dopuszczalnego zakresu — 1/2. Przy równomiernym wyborze środka cięciwy w kole korzystne środki leżą w mniejszym współśrodkowym kole, którego pole jest jedną czwartą pola całości — stąd 1/4.
Gdzie znika „zasada obojętności”
W skończonym zbiorze symetrycznych możliwości często naturalnie przypisujemy każdej jednakową szansę. W przestrzeni ciągłej słowo „jednostajnie” musi odnosić się do konkretnej miary. Jednostajny rozkład promienia nie jest tym samym co jednostajny rozkład punktu w polu koła, bo pierścienie o większym promieniu mają większe pole. Bertrand pokazuje, że sama geometria problemu nie zawsze wskazuje jedyny uprzywilejowany sposób losowania.
To problem modelu, nie rachunku
Jeśli procedura eksperymentu zostanie podana, każda z odpowiedzi może być poprawna dla własnego modelu. Nie ma potrzeby „naprawiania” prawdopodobieństwa. Trzeba doprecyzować doświadczenie losowe. Ta sama zasada dotyczy symulacji komputerowych: generator może losować kąty, współrzędne, odległości czy punkty powierzchni, a każda parametryzacja może nieświadomie wprowadzić inny rozkład.
Praktyczna pułapka symulacji
Bardzo łatwo napisać program, który „losuje przypadkową cięciwę”, a następnie uznać wynik symulacji za odpowiedź na abstrakcyjne pytanie. W rzeczywistości kod zawsze implementuje konkretny algorytm, a więc wybiera jedną z możliwych miar. Symulacja potwierdzi wtedy własne założenia. Paradoks Bertranda jest świetnym przykładem, dlaczego przed uruchomieniem miliona losowań trzeba najpierw precyzyjnie powiedzieć, co oznacza pojedyncze losowanie.
Szersza lekcja probabilistyki
Prawdopodobieństwo nie jest cechą zdania w oderwaniu od modelu. Jest przypisane zdarzeniu w określonej przestrzeni probabilistycznej. Jeśli nie znamy sposobu generowania przypadków, zdanie „wybrano losowo” może być zbyt nieprecyzyjne, by liczba miała jednoznaczny sens. To właśnie ta lekcja, a nie trzy pamięciowe ułamki, stanowi najważniejszą wartość paradoksu Bertranda.
Jednostajność zależy od współrzędnych
Paradoks staje się bardziej intuicyjny, gdy przypomnimy sobie prostszy przykład: punkt wybrany jednostajnie według promienia w kole nie jest punktem wybranym jednostajnie według pola. Pierścienie dalej od środka mają większy obwód i większe pole, więc równy przyrost promienia odpowiada coraz większej liczbie punktów. Podobnie „jednostajny kąt”, „jednostajna odległość środka cięciwy” i „jednostajny punkt będący środkiem cięciwy” nie są wymiennymi opisami tego samego losowania. Zmiana współrzędnych może zmienić gęstość. To fundamentalna kwestia w probabilistyce ciągłej: rozkład jednostajny zawsze jest jednostajny względem jakiejś konkretnie wybranej miary.