Po serii orłów reszka nie „należy się” — prawo wielkich liczb nie spłaca długów
Jeśli kolejne rzuty uczciwą monetą są niezależne, nawet bardzo długa seria orłów nie zwiększa prawdopodobieństwa reszki w następnym rzucie: nadal wynosi ono 1/2. Błąd hazardzisty bierze się z mylenia dwóch różnych stwierdzeń. Prawo wielkich liczb mówi, że przy rosnącej liczbie prób udział orłów zwykle zbliża się do 1/2. Nie mówi, że wcześniejsza nadwyżka orłów musi zostać „odrobiona” przez serię reszek. Proporcja może wracać do 1/2 po prostu dlatego, że stała różnica staje się coraz mniejsza w stosunku do ogromnej liczby wszystkich prób.
Niezależność nie pamięta poprzednich rzutów
W idealnym modelu uczciwej monety każdy rzut ma dwa wyniki o prawdopodobieństwie 1/2 i jest niezależny od poprzednich. Warunek „przed chwilą wypadło dziesięć orłów” nie zmienia mechanizmu jedenastego rzutu. Jeśli moneta i sposób rzucania pozostają takie same, fizyczny proces nie prowadzi rachunku zaległych reszek. Matematycznie prawdopodobieństwo kolejnej reszki po dowolnej konkretnej historii wcześniejszych rzutów nadal wynosi 1/2.
Co naprawdę mówi prawo wielkich liczb
Prawo wielkich liczb dotyczy zachowania średniej lub proporcji w długim szeregu niezależnych prób. Dla uczciwej monety udział orłów ma tendencję do stabilizowania się w pobliżu 50%. To jednak stwierdzenie o względnej częstości, nie o mechanizmie kompensacji. Po 100 rzutach może być np. 60 orłów i 40 reszek. Po kolejnych 10 000 rzutów różnica 20 nadal mogłaby istnieć, a mimo to udział orłów byłby już bardzo bliski połowie.
Dlaczego „wyrównanie” może wyglądać jak spłata
W krótkiej próbie przewaga kilku wyników silnie zmienia procenty. W ogromnej próbie ta sama przewaga staje się prawie niewidoczna. Stąd pozorne wrażenie, że przypadek „wyrównał rachunki”. Nie musi pojawić się seria przeciwnego wyniku. Wystarczy, że kolejne tysiące prób będą zachowywały się typowo. Mianownik rośnie, więc początkowa anomalia ma coraz mniejsze znaczenie dla proporcji.
Kiedy historia jednak ma znaczenie
Błąd hazardzisty dotyczy sytuacji, w których próby rzeczywiście są niezależne i mają stałe prawdopodobieństwa. W prawdziwym świecie te założenia nie zawsze są spełnione. Zmiana zachowania człowieka, zużycie urządzenia, tasowanie bez zwracania kart albo mechaniczna wada mogą powodować zależności. Dlatego poprawnym wnioskiem nie jest „historia nigdy nie ma znaczenia”, tylko „nie wolno zmieniać prawdopodobieństwa na podstawie historii bez mechanizmu, który tworzy zależność”.
Kasyno nie musi czekać na „wyrównanie”
W grach z przewagą kasyna długi czas gry zwykle działa na korzyść organizatora właśnie dlatego, że częstości stabilizują się wokół prawdziwych prawdopodobieństw. Nie istnieje tajemnicza siła gwarantująca graczowi odzyskanie wcześniejszych strat. Jeżeli pojedyncza gra ma ujemną wartość oczekiwaną dla gracza, większa liczba powtórzeń nie zmienia jej w dodatnią strategię; raczej daje więcej okazji, aby mała przewaga statystyczna się ujawniła.
Dwa podobne zdania, dwa różne sensy
„W długiej serii będzie około połowy orłów” jest rozsądnym opisem zachowania proporcji. „Skoro dotąd było za dużo orłów, teraz reszki muszą wypadać częściej” jest już dodatkowym twierdzeniem o zależności kolejnych prób. Pierwsze wynika z prawa wielkich liczb przy odpowiednich założeniach; drugie przeczy niezależności. Rozróżnienie tych dwóch zdań usuwa większość pozornego paradoksu.
Różnica może rosnąć, choć procent się stabilizuje
Dla uczciwej monety typowa różnica między liczbą orłów i reszek nie musi maleć. Jej skala rośnie mniej więcej jak pierwiastek z liczby rzutów. Po 100 rzutach różnica kilku–kilkunastu wyników jest zwyczajna; po milionie rzutów typowe bezwzględne odchylenie może być liczone w setkach. Jednocześnie setki na tle miliona to mikroskopijny procent, więc udział orłów jest bardzo bliski 1/2. To rozróżnienie między odchyleniem bezwzględnym i względnym pokazuje, dlaczego „wyrównywanie” jest mylącą metaforą. Proces może coraz bardziej różnić się liczbowo od idealnego remisu, a zarazem coraz lepiej zgadzać się z teorią w procentach.