Jeśli ciągła funkcja na przedziale ma orbitę okresu 3, musi mieć orbity każdego okresu
Twierdzenie Li i Yorke’a z 1975 roku ma niezwykle krótkie popularne streszczenie: „period three implies chaos”. Dla ciągłego odwzorowania przedziału istnienie cyklu o minimalnym okresie 3 wymusza istnienie punktów okresowych o każdym dodatnim okresie: 1, 2, 4, 5, 6, 7 i wszystkich pozostałych. Twierdzenie gwarantuje również nieprzeliczalny zbiór orbit o chaotycznych własnościach w sensie zdefiniowanym przez autorów. Jedna zaobserwowana pętla długości trzech zdradza więc, że w tym samym prostym układzie ukryta jest cała nieskończona hierarchia zachowań.
Okres 3 oznacza powrót po trzech krokach
Dla iteracji x_(n+1)=F(x_n) punkt okresu 3 wraca do swojej wartości po trzech zastosowaniach funkcji, ale nie wcześniej. Trajektoria odwiedza więc trzy różne wartości i krąży między nimi bez końca. Sam taki cykl wygląda dość regularnie: ma tylko trzy stany. Zaskoczenie zaczyna się, gdy pytamy, co jego istnienie wymusza gdzie indziej w tym samym systemie.
Li i Yorke pokazali, że pojawiają się wszystkie okresy
W oryginalnej pracy autorzy udowodnili, że przy odpowiednich warunkach dla ciągłej funkcji z przedziału w siebie istnienie orbity okresu 3 implikuje istnienie punktu okresowego dla każdego k=1,2,3… Nie trzeba osobno znajdować cyklu długości 17 czy 1000. Jeden cykl długości 3 jest certyfikatem, że wszystkie możliwe długości cykli gdzieś istnieją.
Twierdzenie daje również nieperiodyczną złożoność
Wynik nie kończy się na katalogu regularnych cykli. Li i Yorke skonstruowali nieprzeliczalny zbiór punktów, których trajektorie wielokrotnie zbliżają się do siebie, ale też wielokrotnie rozchodzą na dodatnią odległość. To właśnie w tej pracy termin „chaos” został wprowadzony w precyzyjnym kontekście dynamiki jednowymiarowej.
Trójka zajmuje szczególne miejsce, ale nie przez magię liczby 3
Jeszcze ogólniejsze twierdzenie Szarkowskiego porządkuje dodatnie liczby całkowite według tego, jakie okresy wymuszają inne okresy. W tym uporządkowaniu 3 stoi na początku, dlatego cykl okresu 3 wymusza wszystkie pozostałe. Nie działa odwrotność: istnienie cyklu okresu 5 nie musi gwarantować cyklu okresu 3.
Wniosek dotyczy całej funkcji, nie jednej konkretnej trajektorii
Jeśli obserwujemy punkt krążący w cyklu 3, sama jego trajektoria nadal jest całkowicie przewidywalna. Chaos nie polega na tym, że ten jeden punkt zachowuje się nieregularnie. Informacja o nim mówi natomiast coś globalnego o przestrzeni wszystkich możliwych stanów: gdzieś obok istnieje ogromna rodzina innych okresów i złożonych trajektorii.
To wyjątkowo mocny przykład „małej wskazówki o wielkiej strukturze”
Zwykle poznanie jednego rozwiązania równania mówi niewiele o wszystkich innych. Tutaj obecność zaledwie trzyczęściowego cyklu narzuca całemu układowi nieskończenie bogatą strukturę okresową. Dlatego hasło Li–Yorke’a jest tak pamiętliwe: w odpowiedniej klasie prostych systemów odnalezienie liczby 3 w dynamice wystarcza, aby matematycznie zagwarantować ogromną złożoność.
Twierdzenie Szarkowskiego pokazuje, że okresy mają własną zaskakującą hierarchię
Li–Yorke nie jest odizolowanym cudem liczby 3. Twierdzenie Szarkowskiego, odkryte wcześniej, ustawia wszystkie dodatnie liczby całkowite w specjalnym porządku wymuszania okresów. Na początku stoją liczby nieparzyste od 3 wzwyż, potem ich dwukrotności, czterokrotności i tak dalej, a na końcu potęgi dwójki. Jeśli funkcja ma orbitę o okresie znajdującym się odpowiednio wcześnie w tym porządku, musi mieć również okresy występujące dalej. Okres 3 jest na samym początku, dlatego wymusza wszystkie inne. To jeden z najbardziej niezwykłych przykładów, gdy sama długość cyklu zawiera globalną informację o dynamice.