Glider w Game of Life wygląda jak mały obiekt przemieszczający się po planszy. W rzeczywistości po czterech krokach pięciokomórkowy wzór odtwarza swój kształt przesunięty, ale nie są to te same żywe komórki. Poszczególne komórki rodzą się i umierają zgodnie z lokalną regułą; „glider” jest wzorcem utrzymującym tożsamość na wyższym poziomie opisu. Reguły Life nie zawierają pojęcia ruchu, kierunku ani obiektu. Te pojęcia wyłaniają się dopiero wtedy, gdy obserwujemy kolejne stany jako całość. To czysty przykład własności istniejącej dopiero na poziomie całego wzorca.
Brzeg zbioru Mandelbrota wygląda jak nieskończenie skomplikowana linia oddzielająca wnętrze zbioru od zewnętrza. Tymczasem Mitsuhiro Shishikura udowodnił, że jego wymiar Hausdorffa wynosi dokładnie 2 — tyle samo, ile maksymalnie może mieć podzbiór płaszczyzny. Nie oznacza to, że brzeg po prostu wypełnia kawałek płaszczyzny jak pełny kwadrat. Wymiar fraktalny mierzy sposób, w jaki liczba potrzebnych małych „pudełek” rośnie przy coraz dokładniejszym oglądaniu. Brzeg Mandelbrota jest pod tym względem ekstremalnie złożony.
W Game of Life każda komórka ma tylko dwa stany — żywa lub martwa — a jej przyszłość zależy wyłącznie od liczby ośmiu sąsiadów. Nie ma w regule pojęcia przewodu, pamięci, programu ani liczby. Mimo to odpowiednio ułożone wzorce komórek mogą przesyłać sygnały, przechowywać informacje i realizować bramki logiczne. Z tego można zbudować maszynę Turinga, dlatego Life jest obliczeniowo uniwersalne: przy odpowiedniej konfiguracji początkowej może wykonywać dowolny algorytm, który może wykonać zwykły komputer.
W układzie chaotycznym mały błąd stanu początkowego rośnie w przybliżeniu wykładniczo. Jeśli typowy wzrost błędu opisuje czynnik e^(λt), to zmniejszenie początkowej niepewności dziesięciokrotnie przesuwa moment osiągnięcia tego samego błędu tylko o stały czas ln(10)/λ. Nie wydłuża horyzontu prognozy dziesięć razy. To znacznie precyzyjniejsza wersja efektu motyla: problemem nie jest jedynie to, że pomiar jest niedokładny, ale sposób, w jaki dynamika systemu wzmacnia każdą skończoną niepewność. Każda dodatkowa cyfra dokładności kupuje więc tylko ograniczoną porcję czasu.
Rule 110 jest jednym z najprostszych automatów komórkowych: komórki stoją w jednym szeregu, każda ma tylko stan 0 lub 1, a nowy stan zależy od niej samej i dwóch sąsiadów. Ponieważ istnieje tylko osiem możliwych trójek bitów, całą lokalną regułę można zapisać ośmioma odpowiedziami 0/1. Matthew Cook udowodnił jednak, że Rule 110 jest obliczeniowo uniwersalny. Odpowiednio przygotowany wzór początkowy może emulować dowolny algorytm. Ogromna moc obliczeniowa nie wymaga więc ogromnego zestawu instrukcji.
Twierdzenie Li i Yorke’a z 1975 roku ma niezwykle krótkie popularne streszczenie: „period three implies chaos”. Dla ciągłego odwzorowania przedziału istnienie cyklu o minimalnym okresie 3 wymusza istnienie punktów okresowych o każdym dodatnim okresie: 1, 2, 4, 5, 6, 7 i wszystkich pozostałych. Twierdzenie gwarantuje również nieprzeliczalny zbiór orbit o chaotycznych własnościach w sensie zdefiniowanym przez autorów. Jedna zaobserwowana pętla długości trzech zdradza więc, że w tym samym prostym układzie ukryta jest cała nieskończona hierarchia zachowań.
Edward Lorenz opisał w 1963 roku prosty układ trzech równań różniczkowych i zobaczył na komputerze słynny „motylowaty” atraktor. Numeryczne obrazy były niezwykle przekonujące, ale chaos jest właśnie dziedziną, w której błędy zaokrągleń mogą szybko rosnąć, więc sama symulacja nie jest dowodem. Warwick Tucker dopiero pod koniec lat 90. i w pracy z 2002 roku podał rygorystyczny, komputerowo wspomagany dowód, że dla klasycznych parametrów równania Lorenza rzeczywiście mają robustny dziwny atraktor. Między obrazem a twierdzeniem minęły dekady.
W chaos game wybieramy dowolny punkt w trójkącie, losujemy jeden z trzech wierzchołków i przesuwamy się dokładnie do połowy drogi w jego stronę. Potem znów losujemy wierzchołek i powtarzamy ruch. Intuicja podpowiada, że po tysiącach losowych decyzji punkty powinny wypełnić wnętrze chaotyczną chmurą. Tymczasem zaczynają układać się w trójkąt Sierpińskiego, omijając dokładnie te obszary, które w klasycznej konstrukcji fraktala są usuwane. Losowość wybiera ścieżkę, ale geometria reguły ogranicza wszystkie możliwe długoterminowe wyniki.
Płatek Kocha zaczyna się od zwykłego trójkąta. W każdym kroku każdy odcinek zastępuje się czterema odcinkami długości jednej trzeciej poprzedniego. Obwód mnoży się więc za każdym razem przez 4/3 i po nieskończenie wielu krokach nie ma skończonej długości. Jednocześnie dodawane trójkąciki stają się coraz mniejsze, a suma ich pól tworzy zbieżny szereg. Graniczne pole płatka wynosi tylko 8/5 pola trójkąta początkowego. Można zatem mieć figurę o skończonej powierzchni i nieskończonym brzegu. Kluczowe jest to, że długość i pole skalują się według innych potęg.
Rule 30 ma tak samo prostą architekturę jak Rule 110: jeden rząd komórek 0/1 i osiem lokalnych przypadków. Startując od pojedynczej czarnej komórki, tworzy jednak po jednej stronie regularne motywy, a w centrum i po drugiej stronie strukturę wyglądającą bardzo nieregularnie. Każdy bit jest w pełni wyznaczony przez poprzedni rząd — nie losuje się niczego. Mimo to centralna kolumna była nawet wykorzystywana jako źródło bitów pseudolosowych, a dla startu z jednej komórki udowodniono nieperiodyczność stanów dwóch sąsiednich komórek.
W wielu jednowymiarowych układach przechodzących do chaosu przez podwajanie okresu najpierw pojawia się cykl długości 2, potem 4, 8, 16 i tak dalej. Odstępy między wartościami parametru, przy których zachodzą kolejne bifurkacje, szybko maleją. Zaskoczenie polega na tym, że stosunek sąsiednich odstępów dąży do tej samej liczby δ ≈ 4,669201609… dla szerokiej klasy różnych funkcji. Stała Feigenbauma jest więc uniwersalną liczbą chaosu: szczegóły równania mogą się zmieniać, a tempo zagęszczania bifurkacji pozostaje takie samo.
W konstrukcji trójkąta Sierpińskiego w każdym kroku zostawia się trzy z czterech małych trójkątów. Po n krokach pozostaje więc (3/4)^n początkowego pola, a ta liczba dąży do zera. Graniczny fraktal nie znika jednak: zawiera nieskończenie wiele punktów, pozostaje rozgałęzioną strukturą i ma wymiar fraktalny log₂3 ≈ 1,585. Jest czymś większym niż zwykła jednowymiarowa krzywa, lecz ma dokładnie zero dwuwymiarowego pola. „Ile miejsca zajmuje?” okazuje się pytaniem zależnym od tego, jaką miarą mierzymy.
Automat komórkowy jest zwykle definiowany jako reguła przechodzenia z jednej konfiguracji do następnej. Naturalnie można więc zapytać odwrotnie: jakie konfiguracje mogły wystąpić krok wcześniej? Okazuje się, że niektóre automaty mają tzw. Garden of Eden — konfiguracje, które są poprawnymi stanami planszy, ale nie są wynikiem działania reguły na żadnym wcześniejszym stanie. Mogą istnieć wyłącznie jako warunek początkowy. Deterministyczny świat może więc zawierać obrazy dopuszczalne „teraz”, lecz niemożliwe do wytworzenia przez własną historię.
Game of Life jest deterministyczne: znając dokładny układ komórek, każdy kolejny krok jest jednoznaczny. Można więc oczekiwać, że przy wystarczająco dobrym programie zawsze da się przewidzieć, czy dana skończona konfiguracja kiedyś całkowicie zniknie. Tymczasem Jarkko Kari przytacza twierdzenie wynikające z uniwersalności Life: nie istnieje algorytm, który dla każdej skończonej konfiguracji zawsze poprawnie rozstrzygnie, czy kiedyś umrze. Problem zatrzymania komputera można zakodować w układzie komórek. Determinizm nie gwarantuje więc algorytmicznej przewidywalności.
Trójkąt Pascala kojarzy się z dwumianem Newtona i współczynnikami kombinatorycznymi. Wystarczy jednak zapomnieć o wartościach liczb i zapytać tylko, czy są parzyste. Jeśli liczby nieparzyste zaznaczymy na czarno, a parzyste na biało, kolejne rzędy układają się w coraz dokładniejszy trójkąt Sierpińskiego. Związek nie jest przypadkową podobizną: wynika z arytmetyki współczynników dwumianowych modulo 2. Ten sam fraktal pojawia się więc bez rysowania figur — wyłania się z prostego pytania o resztę z dzielenia liczb przez 2.
