Każda parzysta liczba doskonała jest zakodowana w liczbie pierwszej Mersenne’a
Liczba doskonała jest równa sumie swoich dodatnich dzielników właściwych: 6=1+2+3, a 28=1+2+4+7+14. Euclid wykazał, że jeśli 2^p−1 jest liczbą pierwszą, to 2^(p−1)(2^p−1) jest liczbą doskonałą. Wiele stuleci później Euler udowodnił odwrotność dla liczb parzystych: każda parzysta liczba doskonała musi mieć dokładnie tę postać. Oznacza to ścisłą zgodność między parzystymi liczbami doskonałymi a liczbami pierwszymi Mersenne’a. Nadal nie wiadomo natomiast, czy istnieje choć jedna nieparzysta liczba doskonała.
Od 6 i 28 do ogólnej formuły
Najmniejsza liczba doskonała to 6, bo jej właściwe dzielniki 1, 2 i 3 sumują się do 6. Kolejna to 28. Obie pasują do wzoru 2^(p−1)(2^p−1): dla p=2 otrzymujemy 2·3=6, a dla p=3 — 4·7=28. Warunkiem jest to, by liczba 2^p−1 była pierwsza. Takie liczby pierwsze nazywa się liczbami pierwszymi Mersenne’a. Euclid już w starożytności udowodnił kierunek: każda odpowiednia liczba pierwsza Mersenne’a daje liczbę doskonałą.
Euler zamyka lukę
Przez długi czas można było pytać, czy wzór Euclida produkuje tylko pewną rodzinę parzystych liczb doskonałych, czy rzeczywiście wszystkie. Euler wykazał, że dla parzystej liczby doskonałej innej możliwości nie ma. Jeśli N jest parzysta i doskonała, to musi istnieć p, dla którego N=2^(p−1)(2^p−1), a czynnik 2^p−1 musi być pierwszy. Dzięki temu klasyczny problem o sumie dzielników został powiązany jeden do jednego z bardzo szczególną klasą liczb pierwszych.
Dlaczego związek jest tak zaskakujący
Definicja liczby doskonałej mówi o wszystkich dzielnikach liczby i ich sumie. Definicja liczby pierwszej Mersenne’a mówi natomiast o pojedynczej liczbie postaci 2^p−1. Na pierwszy rzut oka są to dwa różne typy pytań. Wzór Euclida–Eulera pokazuje jednak, że w przypadku liczb parzystych są one w istocie dwiema stronami tego samego problemu. Znalezienie nowej liczby pierwszej Mersenne’a automatycznie konstruuje nową parzystą liczbę doskonałą.
Otwarta połowa historii
Twierdzenie Euclida–Eulera nie rozwiązuje problemu liczb doskonałych całkowicie, ponieważ obejmuje liczby parzyste. Do dziś nie wiadomo, czy istnieje jakakolwiek nieparzysta liczba doskonała. Wiadomo, że ewentualny przykład musiałby spełniać bardzo restrykcyjne warunki, ale ani konstrukcji, ani dowodu niemożliwości nie znaleziono. To ciekawy kontrast: strukturę wszystkich parzystych liczb doskonałych znamy dokładnie, a pytanie o istnienie nieparzystej pozostaje otwarte od stuleci.
Skąd bierze się wzór Euclida–Eulera
Jeśli M=2^p−1 jest pierwsze, dzielniki liczby N=2^(p−1)M mają szczególnie prostą strukturę, ponieważ potęga dwójki i M są względnie pierwsze. Funkcja sumy dzielników jest dla takich czynników multiplikatywna: suma dzielników 2^(p−1) wynosi 1+2+…+2^(p−1)=2^p−1=M, a suma dzielników M wynosi 1+M=2^p. Ich iloczyn to M·2^p=2N, czyli suma wszystkich dodatnich dzielników N jest równa 2N. Po odjęciu samego N zostaje dokładnie N, więc liczba jest doskonała. Ten rachunek wyjaśnia kierunek znany Euclidowi. Osiągnięciem Eulera było wykazanie odwrotności: każda parzysta liczba doskonała musi powstać właśnie w ten sposób, a nie według jakiejś innej ukrytej konstrukcji.
Każda nowa liczba Mersenne’a daje gigantyczną liczbę doskonałą
Jeśli M=2^p−1 jest pierwsze, odpowiadająca liczba doskonała ma postać 2^(p−1)M, więc rośnie mniej więcej jak 2^(2p). Oznacza to, że znalezienie dużej liczby pierwszej Mersenne’a automatycznie produkuje jeszcze większą liczbę doskonałą bez osobnego poszukiwania jej dzielników. Związek Euclida–Eulera zamienia więc problem konstrukcji liczb doskonałych w problem znajdowania szczególnej klasy liczb pierwszych. Nie rozstrzyga tylko jednego: czy poza tą parzystą rodziną istnieje zupełnie inny, nieparzysty typ liczby doskonałej.
Ta korespondencja upraszcza poszukiwania, ale ich nie kończy
Twierdzenie Euclida–Eulera oznacza, że nie trzeba niezależnie przeszukiwać wszystkich parzystych liczb w poszukiwaniu doskonałych. Wystarczy badać liczby Mersenne’a i sprawdzać, które z nich są pierwsze. Jeśli znajdziemy nową taką liczbę pierwszą, odpowiadająca jej liczba doskonała jest natychmiast znana. Nadal jednak pozostaje trudne pytanie o pierwszość ogromnych liczb 2^p−1 oraz całkowicie osobne pytanie o liczby nieparzyste. Klasyczne twierdzenie redukuje problem, ale nie zamyka całej teorii.