Zapis 0,999… nie oznacza liczby, która jest „nieskończenie blisko” jedynki, ale wciąż od niej mniejsza. W zwykłym systemie liczb rzeczywistych jest to dokładnie ta sama liczba co 1. Klucz tkwi w znaczeniu wielokropka: 0,999… oznacza granicę ciągu 0,9; 0,99; 0,999; … albo równoważnie nieskończony szereg 9/10 + 9/100 + 9/1000 + …. Jego suma wynosi 1. Nie istnieje więc dodatnia „ostatnia różnica” między 0,999… a 1, bo w nieskończonym rozwinięciu nie ma ostatniej cyfry 9. To dobry przykład, że intuicja oparta na skończonych rachunkach lub znanym zapisie liczby może nie wystarczać do zrozumienia jej pełnej struktury matematycznej.
Liczba 142857 ma niezwykłą własność: 2·142857=285714, 3·142857=428571, 4·142857=571428, 5·142857=714285, a 6·142857=857142. W każdym wyniku pojawiają się dokładnie te same cyfry w cyklicznie przesuniętej kolejności. Nie jest to przypadkowa sztuczka. 142857 jest okresem rozwinięcia dziesiętnego 1/7=0,142857142857…, a kolejne wielokrotności odpowiadają rozwinięciom 2/7, 3/7, …, 6/7. Jest to najmniejszy klasyczny przykład tzw. liczby cyklicznej związanej z pełnym okresem ułamka. To dobry przykład, że intuicja oparta na skończonych rachunkach lub znanym zapisie liczby może nie wystarczać do zrozumienia jej pełnej struktury matematycznej.
Liczba 1729 jest najmniejszą dodatnią liczbą całkowitą, którą można zapisać jako sumę dwóch dodatnich sześcianów na dwa różne sposoby: 1729=1³+12³=9³+10³. Właśnie ta własność stoi za słynną historią o G.H. Hardym i Srinivasie Ramanujanie. Hardy wspominał, że numer taksówki 1729 wydał mu się nieciekawy, na co Ramanujan miał natychmiast zwrócić uwagę na jego wyjątkową własność. Dziś 1729 nazywa się często liczbą Hardy’ego–Ramanujana albo drugim numerem taksówkowym. To dobry przykład, że intuicja oparta na skończonych rachunkach lub znanym zapisie liczby może nie wystarczać do zrozumienia jej pełnej struktury matematycznej.
Weź czterocyfrową liczbę mającą co najmniej dwie różne cyfry. Ułóż jej cyfry malejąco i rosnąco, odejmij mniejszą liczbę od większej i powtarzaj operację, zachowując w razie potrzeby zera wiodące. Niezależnie od punktu startu po najwyżej 7 krokach dojdziesz do 6174. Potem proces już się nie zmienia, bo 7641−1467=6174. Wyjątkiem są liczby z czterema identycznymi cyframi, które natychmiast prowadzą do zera. 6174 jest znane jako stała Kaprekara. To dobry przykład, że intuicja oparta na skończonych rachunkach lub znanym zapisie liczby może nie wystarczać do zrozumienia jej pełnej struktury matematycznej.
Liczby 8=2³ i 9=3² stoją obok siebie i obie są nietrywialnymi potęgami liczb całkowitych. Eugène Catalan przypuszczał w 1844 roku, że taka sytuacja nie zdarza się już nigdzie indziej: równanie x^p−y^q=1 dla x,y>0 i p,q>1 ma tylko rozwiązanie 3²−2³=1, jeśli wykluczyć trywialne przypadki związane z 0 i 1. Przypuszczenie opierało się dowodowi przez ponad półtora wieku, aż Preda Mihăilescu je udowodnił. Dziś wynik jest znany jako twierdzenie Mihăilescu. To dobry przykład, że intuicja oparta na skończonych rachunkach lub znanym zapisie liczby może nie wystarczać do zrozumienia jej pełnej struktury matematycznej.
Istnieją niewymierne liczby a i b takie, że a^b jest liczbą wymierną — nawet całkowitą. Klasyczny dowód zaczyna się od √2^√2. Jeśli ta liczba byłaby wymierna, przykład już mamy. Jeśli jest niewymierna, bierzemy a=√2^√2 oraz b=√2; wtedy a^b=(√2^√2)^√2=√2²=2. Co ciekawe, głębsze twierdzenie Gelfonda–Schneidera rzeczywiście pokazuje, że √2^√2 jest niewymierne, a nawet przestępne, więc drugi wariant daje konkretną parę. To dobry przykład, że intuicja oparta na skończonych rachunkach lub znanym zapisie liczby może nie wystarczać do zrozumienia jej pełnej struktury matematycznej.
Małe twierdzenie Fermata daje własność spełnianą przez liczby pierwsze i prowadzi do prostych testów pierwszości. Problem w tym, że istnieją liczby złożone, które przechodzą taki test dla każdej podstawy względnie pierwszej z badaną liczbą. To liczby Carmichaela. Najmniejsza z nich to 561=3·11·17. Dla każdego a względnie pierwszego z 561 zachodzi a^560≡1 mod 561, dokładnie tak, jak oczekiwalibyśmy dla liczby pierwszej. Prawdziwe twierdzenie daje więc warunek konieczny, który nie jest warunkiem wystarczającym.
Twierdzenie Zeckendorfa mówi, że każdą dodatnią liczbę całkowitą można zapisać w dokładnie jeden sposób jako sumę różnych, niekolejnych liczb Fibonacciego — przy standardowym wyborze ciągu 1,2,3,5,8,13,… do reprezentacji. Przykładowo 100=89+8+3. Istnieją inne sumy liczb Fibonacciego dające 100, ale jeśli wymagamy, aby żadna liczba się nie powtarzała i żadne dwa użyte wyrazy nie były sąsiednie w ciągu, reprezentacja staje się jednoznaczna. To alternatywny system zapisu liczb ukryty w zwykłym ciągu Fibonacciego.
Liczba doskonała jest równa sumie swoich dodatnich dzielników właściwych: 6=1+2+3, a 28=1+2+4+7+14. Euclid wykazał, że jeśli 2^p−1 jest liczbą pierwszą, to 2^(p−1)(2^p−1) jest liczbą doskonałą. Wiele stuleci później Euler udowodnił odwrotność dla liczb parzystych: każda parzysta liczba doskonała musi mieć dokładnie tę postać. Oznacza to ścisłą zgodność między parzystymi liczbami doskonałymi a liczbami pierwszymi Mersenne’a. Nadal nie wiadomo natomiast, czy istnieje choć jedna nieparzysta liczba doskonała.
Reszta z dzielenia wygląda jak brutalna utrata informacji: jeśli wiemy tylko, że liczba daje resztę 2 przy dzieleniu przez 3, pasuje nieskończenie wiele liczb. Chińskie twierdzenie o resztach pokazuje jednak, że odpowiednio dobrany zestaw takich „niepełnych” informacji może razem określić liczbę jednoznacznie w dużym zakresie. Jeśli moduły są parami względnie pierwsze, układ reszt ma dokładnie jedno rozwiązanie modulo iloczynu modułów. Dla przykładu reszty modulo 3, 5 i 7 wspólnie identyfikują jedną klasę spośród 105 możliwości.
Liczb pierwszych nigdy nie zabraknie, a jednocześnie wśród coraz większych liczb stają się one coraz rzadsze. Twierdzenie o liczbach pierwszych mówi, że liczba liczb pierwszych nieprzekraczających x jest w przybliżeniu równa x/ln(x). Oznacza to, że ich udział wśród liczb od 1 do x jest mniej więcej równy 1/ln(x), a więc dąży do zera. Nie ma tu sprzeczności: zbiór może być nieskończony i jednocześnie stanowić coraz mniejszy procent rosnącego zakresu liczb naturalnych. To dobry przykład, że intuicja oparta na skończonych rachunkach lub znanym zapisie liczby może nie wystarczać do zrozumienia jej pełnej struktury matematycznej.
Stała Champernowne’a powstaje przez banalny przepis: wypisujemy kolejno wszystkie dodatnie liczby całkowite i sklejamy ich cyfry po przecinku: 0,123456789101112131415…. D.G. Champernowne udowodnił w 1933 roku, że ta liczba jest normalna w systemie dziesiętnym. W uproszczeniu oznacza to, że każda cyfra występuje asymptotycznie z częstością 1/10, każda para cyfr z częstością 1/100, każda trójka z 1/1000 itd. Sekwencja skonstruowana całkowicie deterministycznie ma więc długookresową równomierność kojarzącą się z losowymi cyframi.
Liczby pierwsze pojawiają się bez końca, lecz pomiędzy nimi mogą występować przerwy dowolnej żądanej długości. Dla wybranego n spójrz na liczby n!+2, n!+3, …, n!+n. Każda z nich jest złożona, ponieważ n! jest podzielne odpowiednio przez 2, 3, …, n, więc n!+k również jest podzielne przez k. Ponieważ n można wybrać dowolnie duże, można skonstruować dowolnie długi blok kolejnych liczb bez ani jednej liczby pierwszej. To dobry przykład, że intuicja oparta na skończonych rachunkach lub znanym zapisie liczby może nie wystarczać do zrozumienia jej pełnej struktury matematycznej.
Liczby Fermata mają postać Fₙ = 2^(2^n)+1. Dla n=0,1,2,3,4 otrzymujemy 3, 5, 17, 257 i 65537 — wszystkie są pierwsze. Fermat przypuszczał, że kolejne liczby tej postaci również będą pierwsze. Następny przypadek, F₅=4294967297, okazał się jednak złożony: Euler wykazał, że dzieli się przez 641. To klasyczny przykład, jak kilka perfekcyjnie zgodnych przypadków może zasugerować fałszywy wzorzec, zwłaszcza gdy kolejne testy szybko stają się gigantyczne. To dobry przykład, że intuicja oparta na skończonych rachunkach lub znanym zapisie liczby może nie wystarczać do zrozumienia jej pełnej struktury matematycznej.
Czy ułamek ma skończone rozwinięcie, nie jest wyłącznie własnością samej liczby — zależy także od podstawy zapisu. W systemie dziesiętnym 1/5=0,2, ale w systemie binarnym 1/5 ma rozwinięcie okresowe. Ogólna reguła jest prosta: ułamek w najprostszej postaci ma skończone rozwinięcie w podstawie b wtedy i tylko wtedy, gdy każdy czynnik pierwszy jego mianownika dzieli b. Dlatego system dziesiętny „lubi” mianowniki złożone z 2 i 5, a binarny tylko potęgi 2. To dobry przykład, że intuicja oparta na skończonych rachunkach lub znanym zapisie liczby może nie wystarczać do zrozumienia jej pełnej struktury matematycznej.
Wielomian n²+n+41 produkuje liczbę pierwszą dla każdego całkowitego n od 0 do 39. Seria jest tak długa, że łatwo uwierzyć w istnienie prostego generatora liczb pierwszych. Jednak już dla n=40 otrzymujemy 40²+40+41=1681=41². To nie przypadkowa wpadka: żaden niestały wielomian o całkowitych współczynnikach nie może dawać liczby pierwszej dla wszystkich nieujemnych wartości całkowitych argumentu. Wzór Eulera jest więc imponującym lokalnym wzorcem, a nie maszyną generującą wyłącznie liczby pierwsze.
