Liczba 0,123456789101112… jest zbudowana mechanicznie, a mimo to jest normalna
Stała Champernowne’a powstaje przez banalny przepis: wypisujemy kolejno wszystkie dodatnie liczby całkowite i sklejamy ich cyfry po przecinku: 0,123456789101112131415…. D.G. Champernowne udowodnił w 1933 roku, że ta liczba jest normalna w systemie dziesiętnym. W uproszczeniu oznacza to, że każda cyfra występuje asymptotycznie z częstością 1/10, każda para cyfr z częstością 1/100, każda trójka z 1/1000 itd. Sekwencja skonstruowana całkowicie deterministycznie ma więc długookresową równomierność kojarzącą się z losowymi cyframi.
Najprostszy możliwy przepis
Nie trzeba losować ani rozwiązywać równania. Zaczynamy od 1, potem 2, 3, …, 9, następnie 10, 11, 12 i tak bez końca, a wszystkie cyfry zapisujemy jedna za drugą za przecinkiem. Powstaje liczba C=0,1234567891011121314…. Jej cyfry są maksymalnie przewidywalne w tym sensie, że znamy dokładną regułę generowania każdej kolejnej części.
Co oznacza normalność
Liczba jest normalna w podstawie 10, jeśli wszystkie skończone bloki cyfr pojawiają się z oczekiwanymi częstościami granicznymi. Każda z dziesięciu cyfr ma udział 1/10, każdy z 100 bloków dwucyfrowych — 1/100, a ogólnie każdy blok długości k — 1/10^k. To znacznie silniejsze stwierdzenie niż samo „każda cyfra pojawia się nieskończenie wiele razy”. Normalność mówi o równomiernym rozkładzie wszystkich skończonych wzorców.
Deterministyczne nie znaczy statystycznie nierówne
Często intuicyjnie łączymy równomierny rozkład cyfr z losowością. Stała Champernowne’a pokazuje, że to nie to samo. Jej cyfry powstają według sztywnego, krótkiego algorytmu, a mimo to w granicy spełniają podstawowe testy częstości wymagane od liczby normalnej. Normalność nie mówi więc, że cyfry są losowe w sensie procesu fizycznego lub nieprzewidywalności algorytmicznej. Opisuje konkretną własność statystyczną nieskończonego rozwinięcia.
Dlaczego to ważny przykład
Normalne liczby mają być w pewnym sensie typowe: z punktu widzenia miary prawie każda liczba rzeczywista jest normalna. Paradoks polega na tym, że dla wielu najbardziej znanych stałych, takich jak π czy e, pełna normalność w podstawie 10 nie została udowodniona. Champernowne skonstruował natomiast liczbę sztucznie tak, by normalność dało się wykazać. Jego praca pokazała, że można mieć całkowicie jawny, prosty opis liczby o bardzo równomiernym rozkładzie cyfr.
Normalność jest własnością graniczną, nie wyglądem krótkiego fragmentu
Pierwsze fragmenty stałej Champernowne’a wcale nie muszą wyglądać idealnie równomiernie. Gdy przechodzimy od liczb jednocyfrowych do dwucyfrowych, potem trzycyfrowych itd., struktura konkatenacji chwilowo faworyzuje pewne cyfry i pozycje. MathWorld zwraca uwagę, że nawet bardzo długie skończone prefiksy mogą mieć zauważalne odchylenia od idealnych częstości. Normalność mówi o granicy, gdy długość prefiksu dąży do nieskończoności. To ważna lekcja statystyczna: własność asymptotyczna może być prawdziwa mimo wyraźnych lokalnych nierówności. Nie należy więc oczekiwać, że każda pierwsza milionowa porcja cyfr będzie „wyglądała losowo” w każdym teście; twierdzenie dotyczy długookresowych proporcji wszystkich skończonych bloków.
Normalna liczba zawiera każdy skończony wzorzec
Jeśli każda sekwencja k cyfr występuje z dodatnią graniczną częstością 1/10^k, to w szczególności każdy skończony blok cyfr musi pojawić się nie tylko raz, lecz nieskończenie wiele razy. W stałej Champernowne’a nie jest to zaskakujące dla wielu bloków, bo same kolejne liczby całkowite dostarczają ogromnej różnorodności fragmentów. Twierdzenie o normalności mówi jednak znacznie więcej: nie tylko wszystkie wzorce występują, ale ich częstości w granicy układają się dokładnie równomiernie. To przejście od „wszystko gdzieś jest” do „wszystko ma właściwą proporcję” stanowi sedno wyniku.
Prosty przykład rozdziela „losowość” od „normalności”
Gdyby ktoś podał pierwsze milion cyfr stałej Champernowne’a bez wyjaśnienia reguły, można byłoby badać ich statystyki. Znajomość reguły 123456789101112… sprawia jednak, że ciąg jest całkowicie przewidywalny algorytmicznie. Normalność nie próbuje tego ukryć. Mówi wyłącznie o częstościach bloków w nieskończonym rozwinięciu. To ważne rozróżnienie w matematyce i informatyce: ciąg może mieć bardzo równomierne statystyki, a jednocześnie być generowany przez krótki program. „Wygląda statystycznie równomiernie” i „jest losowy” to różne własności.